Titres/Résumés
Jean-Louis Clerc (Université de Lorraine)
- Titre : Crochets de Rankin-Cohen pour les domaines de type-tube
- Résumé : Les crochets de Rankin-Cohen sont des opérateurs bi-différentiels holomorphes à coefficients constants, covariants pour l'action du groupe $SL(2,\mathbb R)$ sur le demi-plan supérieur, et qui sont reliés à la décomposition du produit tensoriel de deux représentations de la série discrète holomorphe. Je donnerai une formule de récurrence nouvelle pour leurs symboles, cas particulier d'une formule générale valable pour tout domaine Hermitien symétrique de type-tube. J'indiquerai également la relation de cette formule avec la formule de Rodrigues pour les polynômes de Jacobi.
Jacques Faraut (Sorbonne université)
- Titre : Additive and multiplicative Horn's problem, the rank one case
- Résumé : Let $A$ and $B$ be $n\times n$ Hermitian matrices. Assume that the eigenvalues $\alpha _1,\ldots ,\alpha _n$ of $A$ are known, as well as the eigenvalues $\beta _1,,\ldots ,\beta _n$
of $B$. What can be said about the eigenvalues of the sum $C=A+B$ ? This is Horn's problem. One can also ask about the eigenvalues of the product $D=AB$, in case $A$ and $B$ are positive definite. The set of Hermitian matrices $X$ with spectrum $\{\alpha _1,\ldots ,\alpha _n\}$ is an orbit $\mathcal{O}_{\alpha }$ for the action of the unitary group $U(n)$ on the space of $n\times n$ Hermitian matrices. Assume that the random matrix $X$ is uniformly distributed on $\mathcal{O}_{\alpha }$, and, independently, the random matrix $Y$ is uniformly distributed on $\mathcal{O}_{\beta }$. The probabilistic Horn's problem is to determine the joint distribution of the eigenvalues of the sum $Z=X+Y$, or of the product $W=XY$.
By using the spherical Fourier transform one can establish a formula for this joint
distribution. If $B$ is of rank one this formula involves an intertwining property.
Paul-Emile Paradan (Université de Montpellier)
- Titre : Le cône de Horn associé aux valeurs propres symplectiques
- Résumé : Le cône de Horn classique est associé à l'action du groupe unitaire $U(n)$ sur les matrices hermitiennes de taille $n \times n$: l’orbite d’une matrice $X$ est déterminée par le $n$-uplet $vp(X)$ formé par ses valeurs propres. Dans ce cadre, on note $Horn(n)$ le cone formé par les triplets $(vp(A),vp(B),vp(A+B))$ où $A,B$ sont des matrices hermitiennes de taille $n \times n$. Cet objet a fait l'objet de nombreuses études depuis les années 60 (Horn, Klyachko, Knutson-Tao, Belkale-Kumar, Berenstein-Sjamaar, Ressayre, ...).
Dans cet exposé, on s'intéresse à un objet analogue associé à l'action du groupe symplectique $Sp(2n,\mathbb R)$ sur les matrices réelles strictement positives de taille $2n \times 2n$. Un résultat classique de J. Williamson (des années 30) nous assure que l'orbite d'une matrice $X$ est entièrement déterminée par un $n$-uplet de réels strictement positifs, noté $sp(X)$, qui correspond aux valeurs propres symplectiques de $X$. Ici, on étudie le cone $Horn_{sp}(n)$ formé par les triplets $(sp(A),sp(B),sp(A+B))$ où $A,B$ sont des matrices réelles strictement positives de taille $2n \times 2n$.
Nous expliquerons pourquoi le cône $Horn_{sp}(n)$ admet les mêmes inégalités que le cône $Horn(n)$, sauf pour l'égalité correspondant à $\text{Tr}(C) = \text{Tr}(A)+\text{Tr}(B)$ : celle-ci est remplacée par l'inégalité correspondant à $\text{Tr}(C) \geq \text{Tr}(A)+\text{Tr}(B)$.
Angela Pasquale (Université de Lorraine)
- Titre : Bounded hypergeometric functions and 2-parameter deformations of multiplicities
- Résumé : The classical theorem of Helgason and Johnson characterizes the spherical functions on a Riemannian symmetric space of the non-compact type $G/K$ that are bounded. This theorem was also generalized to Heckman-Opdam’s hypergeometric functions associated with root systems. In this talk, we characterize the boundedness of some 2-parameter deformations of Heckman-Opdam’s hypergeometric functions. Special geometrical instances correspond to the $\tau$-spherical functions on G when $\tau$ is a small $K$-type.
This is joint work with E. K. Narayanan (Indian Institute of Sciences, Bangalore).
Michael Pevzner (Université de Reims)
- Titre : De la brisure de symétrie vers l'holographie en théorie des représentations
- Abstract : Nous présenterons l'idée de la transformation de brisure de symétrie dans le cadre des lois de branchement
des représentations de dimension infinie des groupes de Lie réductifs et illustrerons la notion duale de transformation
holographique par une série d'exemples.
Sofiane Souaifi (Université de Strasbourg)
- Titre : Théorie du terme constant pour les espaces sphériques réels
- Résumé : En collaboration avec P. Delorme et B. Krötz, nous développons une théorie du terme constant pour les fonctions tempérées sur un espace sphérique réel. Dans mon exposé, je rappellerai ce qu’est un espace sphérique réel, j’expliquerai comment définir une telle théorie et je donnerai quelques propriétés remarquables du terme constant.