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%pour les math
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\usepackage{color} %pour la couleur
 
 

 

        
 



 %pour les théorèmes ...
 
\newtheorem{theoreme}{Th{\'e}or{\`e}me}[section]
\newtheorem{theoremedefinition}[theoreme]{Th{\'e}or{\`e}me et d{\'e}finition}
\newtheorem{definitionproposition}[theoreme]{Définition et Proposition}
\newcommand{\theoremeautorefname}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}%[section]
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\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}%[section]
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\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}%[section]
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\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} %[section]
\newcommand{\definitionautorefname}{D\'efinition}
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\newtheorem{exemple}[theoreme]{Exemple}%[section]
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\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}%[section]
\newcommand{\remarqueautorefname}{Remarque}
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%
%pour les graphiques
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\title[titre court]{Titre}
 \author{Nom prénom}


 
 
 
\begin{document}
 

 \maketitle

 
 %table de matières
 \begin{minipage}[c]{12cm}
\vfill\vfill
{\scriptsize\
\tableofcontents}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{abstract}
  
Nam dui ligula, fringilla a, euismod sodales, sollicitudin vel, wisi. Morbi auctor lorem non justo. Nam lacus libero, pretium at, lobortis vitae, ultricies et, tellus. Donec aliquet, tortor sed accumsan bibendum, erat ligula aliquet magna, vitae ornare odio metus a mi. Morbi ac orci et nisl hendrerit mollis. Suspendisse ut massa. Cras nec ante. Pellentesque a nulla. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Aliquam tincidunt urna. Nulla ullamcorper vestibulum turpis. Pellentesque cursus luctus mauris.
\end{abstract}

\section{Introduction}
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\section{Exemple avec théorème proposition, définition ....}
 
\begin{proposition}
 Soient $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$ et $a \in G$ un générateur de $G$.

(a)  Pour tout $k \in \mathbb{Z}$, l'ordre de $a^k \in G$ est $o\left(a^k\right)=\frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)}$. En particulier, $a^k$ est un générateur de $G$ si et seulement si $\operatorname{pgd}(n, k)=1$.

(b)  Il existe $\varphi(n)$ générateurs distincts dans $G$.
 \end{proposition}
\begin{proof}
 Soit $k \in \mathbb{Z}$. Posons $d=\operatorname{pgcd}(n, k) \in \mathbb{N}^*$. Alors $n=d n^{\prime}$ et $k=d k^{\prime}$ avec $\operatorname{pgcd}\left(n^{\prime}, k^{\prime}\right)=1$. Pour tout $m \in \mathbb{N}$, on a $\left(a^k\right)^m=e \Longleftrightarrow a^{k m}=e \Longleftrightarrow n\left|k m \Longleftrightarrow n^{\prime}\right| k^{\prime} m \Longleftrightarrow n^{\prime} \mid m$. Ainsi $n^{\prime}$ est le plus petit entier non nul tel que $\left(a^k\right)^{n^{\prime}}=e$ et par suite $n^{\prime}=o\left(a^k\right)$.
\end{proof}


\begin{theoreme}
 Soient $p$ un nombre premier et $G$ un p-groupe, d'ordre $p^\alpha$, avec $\alpha \in \mathbb{N}$. Alors le centre $Z(G)$ de $G$ n'est pas réduit à $\{e\}$.
\end{theoreme}
\begin{proof}
 On fait agir $G$ sur lui même par automorphismes intérieurs. Alors $x \in G$ a une orbite réduite à un point, si et seulement si $g x g^{-1}=x$ pour tout $g \in G$, c'est-à-dire si $x \in Z(G)$. D'après le corollaire 3.3, chapitre 2, $|Z(G)| \equiv|G| \bmod p$, donc $|Z(G)|$ est divisible par $p$. Comme le centre $Z(G)$ contient l'élément neutre, il possède au moins $p$ éléments.
\end{proof}


 \section{Exemple de fonction mathématique}            %% un titre de niveau 1 qui sera inclus dans la table des matières
 
\subsection{Un exemple d'image} Voici un exemple d'insertion d'image (en png, jpeg, ou pdf) dans le texte.

Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$ la fonction définie par
\begin{equation}\label{fct-f}
f(x)=x^3-5x^2+8,\quad \forall x\in\mathbb R.
\end{equation}
La dérivé de la fonction \eqref{fct-f} est donnée par
$$f'(x)=3x^2-10x,\quad \forall x\in\mathbb R$$
et sa dérivée seconde par
$$f''(x)=6x,\quad \forall x\in\mathbb R.$$
Le  tracé des trois fonctions est illustré 
dans la figure suivante : en vert celui de $f$, en bleu celui de $f'$ et en rouge celui de $f''$.\\
 
   
 
 
 
%\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{courbe.png}
\end{center}
%\caption{Cette figure illustre 
%le tracé des fonctions 
%$f$, $f'$ et $f''$.}
%\label{courbe}
                     

 

\section{Un exemple de tableau}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|r|}
\hline Un titre de colonne & Un autre titre & Un dernier \\
\hline à gauche & centré & à droite \\
\hline d & e & f \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{\textit{Un tableau simple}}\label{id-tab1}
\end{figure}
 
 %\newpage
 
 
 \section{La bibliographie}
 Dans \cite{ref1}	le théorème X permet de .... D'après \cite[Theorème 5.11]{ref2} on a ....									 
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ref1} Jean-Pierre Ramis,
\textit{Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3: Cours complet avec applications et 300 exercices corrigés.}
Dunod, (2015).

\bibitem{ref2}Jean-Pierre Serre,
Bases normales autoduales et groupes unitaires en caractéristique 2.
\textit{Transform. Groups}, 
\textbf{19} (2014) 643--698.

 
  

\end{thebibliography}




\end{document}